Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B兩點的坐標分別為A（13，0），B（11，12），動點P、Q從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當點P停止運動時，點Q同時停止運動．線段OB、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交AB于點E，射線QE交x軸于點F．動點P、Q運動時間為t（單位：秒）．
（1）當t為何值時，四邊形PABQ是平行四邊形，請寫出推理過程；
（2）當t=3秒時，求△PQF的面積；
（3）當t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程．

Answer 1

分析：（1）可通過平行四邊形的判定，令PA=BQ，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據平行線段成比例，可以得出AF，進而求出PF的值，這樣就可以求出△PQF的面積；
（3）分三種情況進行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值．

解答：解：（1）設OP=2t，BQ=t，PA=13-2t，
要使四邊形PABQ為平行四邊形，則13-2t=t，
∴t=

13

3

．

（2）當t=3時，OP=6，CQ=11-3=8，BQ=3．
∵

QB

OP

=

BD

OD

，
∴

BD

OD

=

1

2

．
∵BC∥DE∥PA，
∴

QE

EF

=

BD

DO

=

DQ

DP

=

1

2

=

QB

AF

，
∴AF=6，
∴F（19，0）
∴S△PQF=

1

2

PF•12=78．

（3）①QP=QF，作QG⊥x軸于G，則
11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴t=

3

2

；
②PQ=FP，
∴

(11-3t)2+122

=13+2t-2t，
∴t=2或

16

3

；
③FQ=FP，

[13+2t-(11-t)]2+122

=13+2t-2t，
∴t=1．
綜上，當t=

3

2

或2或

16

3

或1時，△PQF是等腰三角形．

點評：①本題綜合考查了勾股定理的應用，直角梯形的判定，等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識點；
②由于知識點較多，有一定難度；
③要注意的是（3）中要分三種情況進行討論，不可丟掉任何一種．