Question

（2007•舟山）如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面4個結論：
①BD是∠ABC的角平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結論中選一個加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形和線段垂直平分線的性質分析．
（2）先①根據等腰三角形的性質證明∠ABC=∠ACB，再根據中垂線的性質證明．
解答：解：（1）連接BD，
①∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分線交AC于D，交AB于M，
∴根據中垂線的性質，中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC，故正確；

②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．故正確；

③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C，
∴△ABC∽△BCD，故正確；

④∵∠AMD=90°≠∠C=72°，
∴△AMD與△BCD不是全等三角形．故不正確．
∴①、②、③命題都正確．正確的結論是①、②、③；

（2）證明：BD平分∠ABC，
∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵AB垂直平分線交AC于D，交AB于M，
∴根據中垂線的性質，中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等．有AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴BD平分∠ABC．
點評：本題利用了等腰三角形的性質和判定：等邊對等角，等角對等邊．線段的中垂線的性質，三角形內角和定理．