Question

【題目】A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，從原點(diǎn)O出發(fā)，沿正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AB∥x軸，求t的值；
（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)t=3時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M（3，a），請(qǐng)直接寫(xiě)出使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4．

（2）

解：∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中， ，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0），點(diǎn)B（x，y），

∴PC=AO=4，BC=PO=t=y，CO=PC+PO=4+y=x，

∴y=x﹣4．

（3）

解：△APM為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)AM=AP時(shí)，如圖2所示．

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)P（3，0），∵點(diǎn)M（3，a），點(diǎn)A（0，4），∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知： AM= ，AP= =5，∴ =5，解得：a=0（舍去），a=8．此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）；②當(dāng)MA=MP時(shí)，如圖3所示．

∵點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)M（3，a），

∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知： MA= ，MP=a，∴ =a，解得：a= ．此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， ）；③當(dāng)PA=PM時(shí)，如圖4所示．

∵點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)M（3，a），∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知： PA= =5，PM=|a|，∴a=±5．此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，5）或（3，﹣5）．綜上可知：當(dāng)t=3時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M（3，a），使△APM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，8），（3， ），（3，5）和（3，﹣5）．

【解析】（1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；（2）先證出△PAO≌△BPC，即可得出各邊的關(guān)系，利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的意義即可得出個(gè)線段的長(zhǎng)度，由相等的量可得出結(jié)論；（3）由等腰三角形的性質(zhì)可知，若△APM為等腰三角形只需找到一組臨邊相等即可，臨邊相等分三種情況，分類討論結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．