Question

如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上設(shè)計出一個平行四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，并且AE=AH=CG=CF．
（Ⅰ）若已知矩形的長為20m，寬為10m，設(shè)CG=x，寫出四邊形EFGH的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；當(dāng)CG取多長時，四邊形EFGH的面積最大？
（Ⅱ）當(dāng)矩形的長為a，寬為10時（a＞10），問當(dāng)CG取多長時，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)CG=x，由圖得S_{四邊形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，可得二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)其性質(zhì)，即可解出；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況：0＜

10+a

4

≤10和

10+a

4

＞10，討論解答出即可；

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，BC=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵CG=CF=AE=AH=x，則DG=BE=20-x，DH=BF=10-x，
∴S_{四邊形EFGH}=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△DHG，
=200-x²-（20-x）（10-x），
=-2x²+30x，
其中x的取值范圍是0＜x≤10，
當(dāng)x=

15

2

時，S_{四邊形EFGH}最大．

（Ⅱ）同理可得S=-2x²+（10+a）x（0＜x≤10），
當(dāng)0＜

10+a

4

≤10，且a＞10，即10＜a≤30時，
CG=

10+a

4

時，四邊形EFGH的面積最大；
當(dāng)

10+a

4

＞10，即a＞30時，
CG=10時，四邊形EFGH的面積最大．

點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，同時注意分類討論．