Question

如圖，△ABC是邊長為9cm的等邊三角形，D、E是邊BC、BA上的動點，D點由B點開始以1cm/秒的速度向C點運動，E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，D、E同時出發(fā)，設運動時間為t，當其中一點到達邊的端點時，運動便停止，在運動過程始終保持∠EDF=60°．
（1）求證：∠EDB=∠DFC；
（2）當t=3秒時，求BE+CF的值；
（3）是否存在這樣的t值，使得CF=

9

4

cm？若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質

專題：動點型

分析：（1）利用∠CDF+∠EDB=120°和∠CDF+∠DFC=120°求證即可．
（2）利用△EBD∽△DFC得出

BE

BD

=

CD

CF

，求出CF，即可求出BE+CF的值；
（3）利用△EBD∽△DFC得出

BE

BD

=

CD

CF

=

1

2

，求出CD，BD及BE，利用E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，得出時間t．

解答：證明：（1）∵∠EDF=60°，
∴∠CDF+∠EDB=120°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∴∠CDF+∠DFC=120°，
∴∠EDB=∠DFC；
（2）∵D點由B點開始以1cm/秒的速度向C點運動，E點由B點開始以2cm/秒的速度向A點運動，
∴t=3秒，BE=6，BD=3，
∴CD=BC-BD=9-3=6，
∵△EBD∽△DFC，
∴

BE

BD

=

CD

CF

，即

6

3

=

6

CF

，
∴CF=3，
∴BE+CF=6+3=9．
（3）存在，理由如下．
∵△EBD∽△DFC，
∴

BE

BD

=

CD

CF

=

1

2

，
∵CF=

9

4

cm，
∴CD=

9

2

，
∴BD=9-

9

2

=

9

2

，
∴BE=9，即t=

9

2

，
∴當t=

9

2

時，使得CF=

9

4

cm．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質及相似三角形，解題的關鍵是明確△EBD∽△DFC利用對應邊的比求解．