Question

【題目】如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，AC=5，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OC（如圖所示），

則∠ACO=∠CAO （等腰三角形，兩底角相等），

∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO．

∴∠DAC=∠ACO （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD．

（2）過(guò)點(diǎn)E畫OE⊥AC于E（如圖所示），

在Rt△ADC中，AD= =6，

∵OE⊥AC，∴AE= ，AC= ，

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠，

∴△AEO∽△ADC，

∴ ，即： ，

∴AO= ，即⊙O的半徑為

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ACO與∠CAO的關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DAC與∠ACO的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．