Question

已知直線l與⊙O交于不同的兩點E，F(xiàn)，CD是⊙O的直徑，CA⊥l，DB⊥l，垂足分別為A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，試問在線段AB上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與以點P，B，D為頂點的三角形相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）若l與直徑CD不相交，如圖所示，

（i）作OH⊥AB于H，易得AE=BF，此時△ACE∽△BED，△AFC∽△BDF，
則E，F(xiàn)為滿足的點，故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
（ii）若除E，F(xiàn)外還存在點P使△APC∽△BPD，設(shè)AC=x，BD=y，則y-x=1，
∵Rt△ACE∽Rt△BED，故，得xy=6
于是x=2，y=3或x=-3，y=-2（舍去）
∵△APC∽△BPD，故，即，解得AP=，
故存在第三個滿足條件的點P，且AP=．
綜合（i），（ii），滿足條件的點有三個，AP的長分別為1，6，．

（2）若l與直徑CD相交，且交點為Q，如圖
（i）由∠AQC=∠DQB，得Rt△ACQ∽Rt△BDQ，則點Q為滿足條件的點，
設(shè)AC=x，BD=y，則y-x=1，
又∠DEB=∠ECA，則Rt△ACE∽Rt△BED，
故，得xy=8，
于是，x=，y=或x=，y=（舍去）
∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ，∴，解得AQ=．
（ii）若除Q外，還存在點P，使△APC∽△BDP，則，
整理得AP²-7AP+8=0，解得AP=．
綜合（i），（ii），滿足條件的點P有三個，AP的長分別為，，．
所以，綜合（1）（2）可得，滿足條件的點共有6個．AP的長度為：
1，6，，，，．
分析：由題意可知直線l可能與CD相交，也可能不相交，所以應(yīng)結(jié)合題意，分類討論．
（1）當l與直徑CD不相交時，（i）作OH⊥AB于H，可證其相似，（ii）當除E，F(xiàn)外還存在點P使△APC∽△BPD，可設(shè)AC=x，BD=y，則y-x=1，進而求解．
（2）當l與直徑CD相交時，其交點Q滿足條件，然后再計算除Q點外是否還存在點P，可假設(shè)其存在，然后再結(jié)合題意進行求解，再驗證假設(shè)是否成立即可．
點評：熟練掌握圓的性質(zhì)及判定，能夠運用圓的性質(zhì)求解一些實際問題，會對問題進行分類討論．