【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC="3" ,tan∠BAC=,將∠ABC對折,使點C的對應(yīng)點H恰好落在直線AB上,折痕交AC于點O,以點O為坐標原點,AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系
(1)求過A、B、O三點的拋物線解析式;
(2)若在線段AB上有一動點P,過P點作x軸的垂線,交拋物線于M,設(shè)PM的長度等于d,試探究d有無最大值,如果有,請求出最大值,如果沒有,請說明理由.
(3)若在拋物線上有一點E,在對稱軸上有一點F,且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形,試求出點E的坐標.
【答案】(1)y=;(2)當t=時,d有最大值,最大值為2;(3)在拋物線上存在三個點:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形.
【解析】
(1)在Rt△ABC 中,根據(jù)∠BAC的正切函數(shù)可求得AC=4,再根據(jù)勾股定理求得AB,設(shè)OC=m,連接OH由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,即得AH=AB-BH=2,OA=4-m.在Rt△AOH 中,根據(jù)勾股定理可求得m的值,即可得到點O、A、B的坐標,根據(jù)拋物線的對稱性可設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為:y=ax(x-),再把B點坐標代入即可求得結(jié)果;
(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,設(shè)動點P(t,),則M(t,),先表示出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果;
(3)設(shè)拋物線y=的頂點為D,先求得拋物線的對稱軸,與拋物線的頂點坐標,根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱.分AO為平行四邊形的對角線時,AO為平行四邊形的邊時,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.
(1)在Rt△ABC 中,
∵BC=3 ,tan∠BAC=,
∴AC=4.
∴AB=.
設(shè)OC=m,連接OH
由對稱性知,OH=OC=m,BH=BC=3,∠BHO=∠BCO=90°,
∴AH=AB-BH=2,OA=4-m.
∴在Rt△AOH 中, OH2+AH2=OA2,即m2+22=(4-m)2,得 m=.
∴OC=,OA=AC-OC=,
∴O(0,0) A(,0),B(-,3).
設(shè)過A、B、O三點的拋物線的解析式為:y=ax(x-).
把x=,y=3代入解析式,得a=.
∴y=x(x-)=.
即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=.
(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,根據(jù)題意得
,解之得,.
∴直線AB的解析式為y=.
設(shè)動點P(t,),則M(t,).
∴d=()—()=—=
∴當t=時,d有最大值,最大值為2.
(3)設(shè)拋物線y=的頂點為D.
∵y== ,
∴拋物線的對稱軸x=,頂點D(,-).
根據(jù)拋物線的對稱性,A、O兩點關(guān)于對稱軸對稱.
當AO為平行四邊形的對角線時,拋物線的頂點D以及點D關(guān)于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形.這時點D即為點E,所以E點坐標為().
當AO為平行四邊形的邊時,由OA=,知拋物線存在點E的橫坐標為或,即或,
分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y=中,得點E(,)或E(-,).
所以在拋物線上存在三個點:E1(,-),E2(,),E3(-,),使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形.
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點、點,與軸交于點,其中點和點.
(1)填空:___________,________;
(2)求的面積;
(3)根據(jù)圖象回答:當為何值時,(請直接寫出答案)_____________.
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【題目】國家近年來實施了新一輪農(nóng)村電網(wǎng)改造升級工程,解決了農(nóng)村供電“最后1公里”問題,電力公司在改造時把某一輸電線鐵塔建在了一個坡度為1:0.75的山坡CD的平臺BC上(如圖),測得∠AED=52°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,則鐵塔AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)( 。
A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米
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【題目】如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,連接EF,給出下列四個結(jié)論,其中正確結(jié)論的序號是( 。
①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③△APD一定是等腰三角形;④PD=EC.
A.①②④B.②④C.①②③D.①③④
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=16cm,D、E分別是AC、AB的中點,連接DE.點P從點D出發(fā),沿DE方向勻速運動,速度為2cm/s;同時,點Q從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動,速度為4cm/s,當點P停止運動時,點Q也停止運動.連接PQ,設(shè)運動時間為t(0<t<4)s.解答下列問題:
(1)當t為何值時,以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似?
(2)當t為何值時,△EPQ為等腰三角形?
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【題目】某校組織了一次七年級科技小制作比賽,有A、B、C、D四個班共提供了100件參賽作品,C班提供的參賽作品的獲獎率為50%,其他幾個班的參賽作品情況及獲獎情況繪制在下列圖①和圖②兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖中.
(1)B班參賽作品有多少件?
(2)請你將圖②的統(tǒng)計圖補充完整;
(3)通過計算說明,哪個班的獲獎率高?
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【題目】如圖在直角坐標系中△ABC的頂點A、B、C三點坐標為A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)請在圖中畫出△ABC的一個以點P(12,0)為位似中心,相似比為3的位似圖形△A'B'C'(要求與△ABC在P點同一側(cè));
(2)直接寫出A'點的坐標;
(3)直接寫出△A'B'C'的周長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,點P從點A開始沿AB邊向點B以1 cm/s的速度移動,同時點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動.當一個點到達終點時另一點也隨之停止運動,運動時間為x秒(x>0).
(1)求幾秒后,PQ的長度等于5 cm.
(2)運動過程中,△PQB的面積能否等于8 cm2?并說明理由.
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【題目】今年,我國海關(guān)總署嚴厲打擊“洋垃圾”違法行動,堅決把“洋垃圾”拒于國門之外如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到港口正西方的處時,發(fā)現(xiàn)在的北偏東方向,相距海里處的點有一可疑船只正沿方向行駛,點在港口的北偏東方向上,海監(jiān)船向港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從港口沿方向駛出,在處成功攔截可疑船只,此時點與點的距離為海里.
(1)求的度數(shù)與點到直線的距離;
(2)執(zhí)法船從到航行了多少海里?(結(jié)果保留根號)
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