Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延長線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

Answer 1

 （1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴∠ODG=∠DGC，

∵DG⊥AC，

∴∠DGC=90°，

∴∠ODG=90°，

∴OD⊥FG，

∵OD是⊙O的半徑，

∴直線FG是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，

∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，

∴OA=OD=10÷2=5，

由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，

∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，

在△ODF和△AGF中，

∴△ODF∽△AGF，

∴，

∵cosA=，

∴cos∠DOF=，

∴=，

∴AF=AO+OF=5，

∴，

解得AG=7，

∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，

即CG的長是3．