Question

如圖所示，已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD，又DM⊥BC，AB=10cm．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）求證：BM=EM．

Answer 1

（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=10cm
又∵D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=AC=5cm
又∵CD=CE
∴CE=5cm
BE=BC+CE=10+5=15cm；

證明：（2）∵△ABC是等邊三角形，
D是AC的中點(diǎn)，
∴BD平分∠ABC（三線合一），
∴∠ABC=2∠DBE．∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE．
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．
或（2）證明：
∵在等邊△ABC中，BD是中線
∴BD⊥AC，∠ACB=60°
∴∠DBC=30°
又∵CE=CD
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵BM⊥BE
∴BM=EM．
分析：求BE的長(zhǎng)，即BC與CE的和，AB=10，所以BC=10，因?yàn)镃E=CD，CD=AC，可求BE的長(zhǎng)．第二問中由（1）可求∠E=∠BDC=30°，得出BD=DE，因?yàn)镈M⊥BC，進(jìn)而可證明兩線段相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，證得∠DBC=∠E是正確解答本題的關(guān)鍵．