Question

【題目】如圖1，把矩形放在平面直角坐標(biāo)系中，邊在軸上，邊在軸上，連接，且，過(guò)點(diǎn)作平分交于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作交于，過(guò)作交于．

（1）當(dāng)時(shí)，在線段上有一動(dòng)點(diǎn)，軸上有一動(dòng)點(diǎn)，連接當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，在（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）周長(zhǎng)的最小值為6，N（0,1）；（2）存在，P（，），對(duì)應(yīng)Q（0，）或P（，），對(duì)應(yīng)Q（0，）．

【解析】

（1）根據(jù)角平分線、平行線以及矩形的性質(zhì)得出∠EFG=30°，設(shè)EG=a，表達(dá)出△EFG的面積，求出a的值，進(jìn)而求出OE的值，連接DE，DF，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接DH，證明△CEF≌△CDF（SAS），得到點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，確定周長(zhǎng)的最小值為DH，求出點(diǎn)D和點(diǎn)H的坐標(biāo)，即可求出DH的值，待定系數(shù)法求出直線DH的解析式，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P（p，p+3），①若∠QPE=90°，PQ=PE，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于點(diǎn)K，PJ⊥x軸于點(diǎn)J，證明△PKQ≌△PEJ（AAS），得到QK=EJ，PK=PJ，列出方程即可求出p，進(jìn)而求出P和Q的坐標(biāo)；②當(dāng)∠QEP=90°時(shí)，EQ=EP，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，證明△OQE≌△REP（AAS），得到PR=OE=，OQ=ER，列出方程即可求出p，進(jìn)而得到P和Q的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠BCO=90°，BC=OA=3，

∵∠ACO=30°，

∴∠ACB=60°，

∵CD平分∠ACB，

則∠ACD=∠BCD=30°，

∵FG∥CD，

∴∠CFG=∠ACD=30°，

∴∠ACO=∠CFG=30°，

∴CG=FG，

∵EF⊥OC，∠ACO=30°，

∴∠EFC=60°，

∴∠EFG=60°-30°=30°，

設(shè)EG=a，則FG=2a，

∴EF=，

∴，即，解得：a=，

∴EF=，FG=CG=，

∴CE=CG+EG=+=2，

∵OA=3，∠AOC=30°，

∴AC=6，OC=，

∴OE=，

連接DE，DF，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，連接DH，

∵∠BCD=30°，BC=3，∠B=90°，

設(shè)BD=b，則DC=2b，

∴b2+32=(2b)2，解得：b=，則DC=2，

∴CE=CD，

在△CEF與△CDF中，

CE=CD，∠ECF=∠DCF，CF=CF，

∴△CEF≌△CDF（SAS），

∴EF=DF，

∴CF垂直平分DE，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

∴周長(zhǎng)的最小值為DH，

∵BD=，AB=OC=3，

∴AD=2，則D（2，3），

又∵點(diǎn)H（-，0），

∴DH=，

周長(zhǎng)的最小值為6，

設(shè)直線DH的解析式為y=kx+t，

將D（2，3），H（-，0）代入得：，

解得：k=，t=1，

∴y=x+1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴N（0,1）

（2）存在，

設(shè)直線AC為y=mx+n，將點(diǎn)A（0,3），C（3，0）代入得：

，解得m=，n=3，

∴y=x+3，

設(shè)點(diǎn)P（p，p+3），

①若∠QPE=90°，PQ=PE，

如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于點(diǎn)K，PJ⊥x軸于點(diǎn)J，

∵∠KOJ=∠PKO=∠PJO=90°，

∴∠KPJ=90°，

∵∠QPK+∠KPE=∠JPE+∠KPE=90°，

∴∠QPK=∠EPJ，

又∵PQ=PE，∠PKQ=∠PJE=90°，

∴△PKQ≌△PEJ（AAS），

∴QK=EJ，PK=PJ，

即p=p+3，解得：p=，

∴P（，）

∴QK=EJ=-=，

∴OQ=OK+QK=+=，

∴Q（0，）；

②當(dāng)∠QEP=90°時(shí)，EQ=EP，

如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，

∵∠QEP=90°，∠QOE=90°，

∴∠OQE+∠QEO=90°，∠QEO+∠PER=90°，

∴∠OQE=∠PER，

在△OQE與△REP中，

∠QOE=∠ERP=90°，∠OQE=∠PER，QE=EP，

∴△OQE≌△REP（AAS），

∴PR=OE=，OQ=ER，

即p+3=，解得p=，

∴P（，），

∴OQ=ER=-=，

∴Q（0，）

綜上所述，P（，），對(duì)應(yīng)Q（0，）或P（，），對(duì)應(yīng)Q（0，）．