Question

如圖，D是等邊△ABC的邊AB上一點，E是BC延長線上一點，連接DE交AC于F，過D點作DG⊥AC于G點．
（1）證明：AG=

1

2

AD；
（2）若DF=EF，求證：CE=AD．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形就可以得出∠A=60°，由DG⊥AC就可以得出∠AGD=90°，從而得出∠ADG=30°，就可以得出結(jié)論；
（2）過點D作DH∥BC交AC于點H，可以得到△DHF≌△ECF，就有DH=CE，再證明△ADH是等邊三角形就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，
∵∠ADG=30°，
∴AG=

1

2

AD；
（2）過點D作DH∥BC交AC于點H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD，
在△DHF和△ECF中，

∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DF=EF

，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DH=CE，
∴CE=AD．

點評：本題考查了等邊三角形判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時作DH∥BC是難點，證明三角形全等是關(guān)鍵．