Question

14．如圖所示，已知射線AM∥BN，∠MAB=α，F(xiàn)是射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作AE平分∠BAF交BN于E，作AD平分∠MAF交BN于D．
（1）求∠EAD的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）在∠EAD=∠B的條件下，在F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，如果△AEF恰好是直角三角形，求此時(shí)∠ADB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可知“∠BAE=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠FAD=∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAM”，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAM，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合∠EAD=∠B，可求出∠B和∠MAB的度數(shù)．按兩種情況來(lái)考慮△AEF是直角三角形，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠MAD的度數(shù)，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AE平分∠BAF，AD平分∠MAF，
∴∠BAE=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠FAD=∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAM，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=$\frac{1}{2}$（∠BAF+∠FAM）=$\frac{1}{2}$∠BAM=$\frac{1}{2}$α．
（2）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠B=180°．
∵∠EAD=∠B=$\frac{1}{2}$∠MAB，
∴∠B=60°，∠MAB=120°．
△AEF是直角三角形分兩種情況：
①∠AFE=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
∠MAF=∠MAB-∠BAF=90°．
∵AD平分∠MAF，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAF=45°．
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠MAD=45°；
②∠AEF=90°．
∵∠B=60°，∠MAB=120°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°，
∠MAF=∠MAB-∠BAF=60°，
∵AD平分∠MAF，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠MAF=30°．
∵AM∥BN，
∴∠ADB=∠MAD=30°．
綜上可知：在F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，如果△AEF恰好是直角三角形，此時(shí)∠ADB的度數(shù)為45°或30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線定義以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)角平分線的定義找出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAM；（2）求出∠MAD的度數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，合理的利用角的計(jì)算及平行線的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．