Question

如圖，正方形ABCD邊AB在x軸上，且坐標(biāo)分別為A（1，0），B（-1，0），若拋物線經(jīng)過A，B兩點，將正方形繞A點順時針旋轉(zhuǎn)30°后D點轉(zhuǎn)到D′位置，且D′在拋物線上，則拋物線的解析式為________．

Answer 1

y=（x+1）（x-1）（或y=x²-）
分析：如圖，過點D′作D′E⊥x軸于點E．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通過解該直角三角形即可求得AE、D′E的長度，從而求得點D′的坐標(biāo)，然后將其代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-1）（a≠0），從而求得a的值．
解答：解：根據(jù)題意，可設(shè)該二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-1）（a≠0），
如圖，過點D′作D′E⊥x軸于點E．
∵A（1，0），B（-1，0），
∴AB=2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠DAB=90°．
又∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，
∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×=1，D′E=AD′sin60°=2×=，
∴D′（2，）．
∵點D′在拋物線上，
∴=a（2+1）（2-1），
解得，a=，
∴該二次函數(shù)解析式是：y=（x+1）（x-1）（或y=x²-）．
故答案是：y=（x+1）（x-1）（或y=x²-）．
點評：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．在求點D′的坐標(biāo)時，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所對的直角邊是所對的斜邊的一半”進(jìn)行解答．