Question

【題目】如圖，若拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣3經(jīng)過點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M，連接PC．

①線段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果沒有，請(qǐng)說明理由；

②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在點(diǎn)M，恰好使△PCM是以PM為腰的等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，；②存在，(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)

【解析】

（1）由直線表達(dá)式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）①根據(jù)PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+即可求解；

②分PM＝PC、PM＝MC兩種情況，分別求解即可．

解：（1）對(duì)于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，﹣3），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)：點(diǎn)M（x，x﹣3），則點(diǎn)P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0，故PM有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，PM最大值為：；

②存在，理由：

PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；

PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；

MC2＝（x﹣3+3）2+x2；

（Ⅰ）當(dāng)PM＝PC時(shí)，則（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，

解得：x＝0或2（舍去0），

故x＝2，故點(diǎn)P（2，﹣3）；

（Ⅱ）當(dāng)PM＝MC時(shí)，則（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，

解得：x＝0或3±（舍去0和3+），

故x＝3﹣，則x2﹣2x﹣3＝2﹣4，

故點(diǎn)P（3﹣，2﹣4）．

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2，﹣3)或(3﹣，2﹣4)．