Question

已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接AC，CD，BD，BC，設(shè)△AOC，△BOC，△BCD的面積分別為S₁，S₂和S₃，用等式表示S₁，S₂，S₃之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)B），過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，連接MC，是否存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和此時(shí)刻直線MN的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣2x﹣3，

y=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，﹣4）；

（2）S₁+S₃=S₂，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥y軸于F，

由題意得，CD=，BD=2，BC=3，

CD²+BC²=BD²，

∴△BCD是直角三角形，

S₁=×OA×OC=，

S₂=×OB×OC=

S₃，=×CD×BC=3，

∴S₁+S₃=S₂；

（3）存在點(diǎn)M使∠AMN=∠ACM，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），

∵﹣1＜m＜3，

∴MA=m+1，AC=，

∵M(jìn)N∥BC，

∴=，即=，

解得，AN=（m+1），

∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，

∴△AMN∽△ACM，

∴=，即（m+1）²=•（m+1），

解得，m₁=，m₂=﹣1（舍去），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，

，解得，

則BC的解析式為y=x﹣3，又MN∥BC，

∴設(shè)直線MN的解析式為y=x+b，把點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）代入得，

b=﹣，

∴直線MN的解析式為y=x﹣．