Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)M，OA=3，tan∠AMO=$\frac{3}{4}$，OM=OB．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在第三象限內(nèi)，點(diǎn)P（m，n）（m＜0，n＜0）在拋物線上，試用m的代數(shù)式表示△PBM的面積；點(diǎn)P在什么位置時，△PBM的面積最大？求出這時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切的概念和題意分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及梯形的面積公式用m的代數(shù)式表示△PBM的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PBM的面積最大值，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵tan∠AMO=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OA}{OM}$=$\frac{3}{4}$，又OA=3，
∴OM=4，
∴OB=OM=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-4），
則$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
則拋物線的表達(dá)式為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4；
（2）作PH⊥AB于H，
∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線上，
∴n=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m-4，
△PBM的面積=梯形OHPM的面積+△HBP的面積-△OBM的面積
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4+4）×（-m）+$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m
=-$\frac{2}{3}$（m+2）²+$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)m=-2時，△PBM的面積最大，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式、掌握配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，注意坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的應(yīng)用．