有一張長方形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,將它折疊后,可使點C與點A重合(圖1),也可使點C與AB上的點E重合(圖2),也可使點C與AD上的點E重合(圖3),折痕為線段FG.
(1)如圖1,當點C與點A重合時,則折痕FG的長為______.
(2)如圖2,點E在AB上,且AE=1,當點C與點E重合時,則折痕FG的長為______
【答案】
分析:(1)連接CG,可證△AHG∽△CBA,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出HG的長度;易證△AHG≌△CHF,則FG=2HG;
(2)連接CG,EG,則FG垂直平分CE.易證△CHF∽△CBE,得出CH=2HF.在直角△BCE中,運用勾股定理,可出CE的長度,求出HF的值;設(shè)DG=y,由GE=GC,運用勾股定理求出y的值,得到CG的長度,從而在直角△CHG中,由勾股定理計算出GH的值,則GF=GH+HF;
(3)過點F作FH⊥AD,H為垂足,連接FE.在直角△HFE中,運用勾股定理可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并根據(jù)條件得到函數(shù)的定義域;
(4)(2)中點C與點E重合,且DG=1,即點E可以在邊AB上,同樣,可知點E可以在邊AD、BC上.
解答:解:(1)連接CG.
∵點C與點A關(guān)于FG對稱,
∴FG垂直平分AC,
∴∠AHG=90°,AH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/0.png)
AC=2.5.
在△AHG與△CBA中,∵∠AHG=∠CBA,∠GAH=∠ACB,
∴△AHG∽△CBA,
∴HG:AB=AH:BC,
∴HG=3×2.5÷4=
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.
在△AHG與△CHF中,
∠GAH=∠HCF,AH=CH,∠AHG=∠CHF,
∴△AHG≌△CHF,
∴HG=HF,
∴FG=2HG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/2.png)
;(3分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/images3.png)
(2)連接CG,EG,則FG垂直平分CE.
在△CHF與△CBE中,∠CHF=∠B=90°,∠HCF=BCE,
∴△CHF∽△CBE,
∴HF:BE=CH:BC,
∴CH=2HF.
設(shè)HF=x,則CE=2CH=4x.
在△BCE中,∠B=90°,
∴CE
2=BE
2+BC
2,
∴16x
2=4+16,
∴x=
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.
設(shè)DG=y,則AG=4-y.
∵GE=GC,
∴1
2+(4-y)
2=3
2+y
2,
∴y=1.
∴GC
2=DG
2+CD
2=1+9=10,
∴GH
2=GC
2-CH
2=10-5=5,
∴GH=
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,
∴GF=GH+HF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/5.png)
+
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=
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;(3分)
(3)過點F作FH⊥AD,H為垂足,連接FE.則FE=FC=4-y,HE=x-y,F(xiàn)H=3,(3分)
由勾股定理有(x-y)
2+3
2=(4-y)
2,
從而得
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(1<x<
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);(1分)
(4)AB、AD、BC.(3分)
故答案為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/10.png)
;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022160643624365390/SYS201310221606436243653024_DA/11.png)
;AB、AD、BC.
點評:本題考查了軸對稱、矩形的性質(zhì),全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識,綜合性較強,有一定難度.