Question

【題目】如圖，甲、乙兩人分別從A（1， ），B（6，0）兩點(diǎn)同時出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．

（1）請說明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行；
（2）當(dāng)t為何值時，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s=MN2 ， 直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1， ），

∴OA= =2；

∵OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

∴當(dāng) = 時，解得t=0，

∴甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t=0時，△OMN∽△OAB，

∴MN與AB不可能平行．

（2）

解：∵甲到達(dá)O點(diǎn)的時間為t= ，乙到達(dá)O點(diǎn)的時間為t= = ，

∴甲先到達(dá)O點(diǎn)，

∴t= 或t= 時，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形．

①t＜ 時，

如果△OMN∽△OBA，則有 = ，

解得t=2＞ ，

∴△OMN不可能和△OBA相似．

②當(dāng) ＜t＜ 時，

∠MON＞∠AOB，

顯然△OMN不可能和△OBA相似．

③當(dāng)t＞ 時，

= ，

解得t=2＞ ，

∴當(dāng)t=2時，△OMN∽△OBA．

（3）

解：①當(dāng)t≤ 時，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，

，

在Rt△MOH中，

∵∠AOB=60°，

∴MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

∴OH=OMcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

∴NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2

=3（4t2﹣4t+1）+（4t2﹣20t+25）

=16t2﹣32t+28．

②當(dāng) ＜t≤ 時，如圖2，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，

，

在Rt△MOH中，

MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），

NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

③當(dāng)t＞ 時，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

綜上，可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

【解析】（1）判斷出甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t=0時，△OMN∽△OAB，即可推得MN與AB不可能平行．（2）根據(jù)題意，分三種情況：①t＜ 時；②當(dāng) ＜t＜ 時；③當(dāng)t＞ 時；求出當(dāng)t為何值時，△OMN∽△OBA．（3）根據(jù)題意，分三種情況：①t≤ 時；②當(dāng) ＜t≤ 時；③當(dāng)t＞ 時；寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．