Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E．

（1）求證：D為BC的中點(diǎn)；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC，于F，若AF=，BC=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的直徑為4．

【解析】

試題（1）連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及三線合一定理即可證得；

（2）先根據(jù)垂徑定理，求得AE=2AF=；再運(yùn)用圓周角定理的推論得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，從而可證得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根據(jù)此關(guān)系列方程求解即可得⊙O的直徑．

試題解析：（1）連接AD

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；

（2）∵OF⊥AC于F，AF=，

∴AE=2AF=，

連接BE，

∵AB為直徑 D、E在圓上，

∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，

∴在△BEC、△ADC中，

∠BEC=∠ADC，∠C=∠C，

∴△BEC∽△ADC，

即CD：CE=AC：BC，

∵D為BC中點(diǎn)，

∴CD=BC，

又∵AC=AB，

∴BC2=CEAB，

設(shè)AB=x，可得 x（x﹣）=2，解得x1=﹣（舍去），x2=4，

∴⊙O的直徑為4.