Question

如圖，已知邊長為a的正方形ABCD．
（1）只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，求作該正方形繞點A逆旋轉(zhuǎn)30°后的正方形AB₁C₁D₁；
（2）求兩正方形不重合部分的面積．

Answer 1

解：（1）

（2）連接AG，
∵AD=AB₁，AG=AG，
∴直角三角形AB₁G≌△ADG，
∵∠BAB₁=30°，
∴∠B₁AD=60°，
∴∠B₁AG=30°，
∵AB₁=a，
∴B₁G=，
∴四邊形AB₁GD=2×a×÷2=．
∴兩正方形不重合部分的面積=2×（a²-）=．
分析：（1）①以點A為圓心，AD長為半徑作圓，再以點D為圓心，DA長為半徑作弧，與圓的交點為E，連接AE，DE，△ADE就是一個等邊三角形．∠EAD=60°；
②作∠EAD的角平分線，得到一個30°的角，角平分線與圓的交點為D₁；
③連接AC，以AC為一邊根據(jù)②中30度的角作∠CAC1=30°，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧與角的另一邊交點為C₁；
④以AB為一邊，作∠BAB₁等于已知角30度，與圓的交點為B₁．
順次連接AB₁C₁D₁，正方形AB₁C₁D₁就是所求的正方形．
（2）從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩正方形不重合部分的面積，就是正方形的面積減四邊形AB₁GD的面積．連接AG，求它的面積．根據(jù)面積公式計算．
點評：（1）題的難點在于作一個30°的角，作出30°的角后，旋轉(zhuǎn)變換根據(jù)這個角度找對應(yīng)點就可以了．
（2）題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理計算重合部分的面積，然后得出不重合部分的面積．