Question

在正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)C作CF⊥AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)D作DG⊥DF交AE于點(diǎn)G．
（1）若DG=2，求FG的長(zhǎng)；
（2）若E為CD的中點(diǎn)，求證：CF+EF=GE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=CD，∠ADC=90°，故可得出∠DAE+∠AED=90°，由CF⊥AE可知∠ECF+∠CEF=90°，故可得出∠DAE=∠ECF，同理可得出∠ADG=∠CDF，由ASA定理證得△AGD≌△CFD，得出DG=DF，利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由（1）中△AGD≌△CFD可知DG=DF，再由DG⊥DF可知△DGF是等腰直角三角形，過點(diǎn)D作DK⊥AE于點(diǎn)K，則DK=GK，根據(jù)AAS定理可得出△DKE≌△CFE，故EK=EF，DK=CF，所以GK=CF，由此即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠ECF，
同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
在△AGD與△CFD中，

∠DAE=∠ECF AD=CD ∠ADG=∠CDF

，
∴△AGD≌△CFD（ASA），
∴DG=DF，
∴FG=

22+22

=2

2

；

（2）∵由（1）知△AGD≌△CFD，
∴DG=DF，
∵DG⊥DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
過點(diǎn)D作DK⊥AE于點(diǎn)K，則DK=GK，
在△DKE與△CFE中，

∠DEK=∠CEF ∠DKE=∠CFE DE=CE

，
∴△DKE≌△CFE（AAS），
∴EK=EF，DK=CF，
∴GK=CF，
∴CF+EF=EK+GK=GE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．