Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，F(xiàn)是邊DC上的一點(diǎn)，且DF：FC=1：2，E為BC的中點(diǎn)，連接AE、AF、EF，求：
（1）△AEF的周長(zhǎng)；
（2）△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，BC=CD=AD=AB=6，
∵DF：FC=1：2，
∴DF=2，F(xiàn)C=4，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=3，
在Rt△ADF中：AF===2，
在Rt△FCE中：EF===5，
在Rt△ABE中：AE===3，
∴△AEF的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF=2+5+3；

（2）過A作AM⊥EF，
設(shè)MF=x，則ME=5-x，
∵AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，
∴40-x²=45-（5-x）²，
解得：x=2，
∴AM===6，
∴△AEF的面積是：•EF•AM=×5×6=15．
分析：（1）首先根據(jù)題中的條件計(jì)算出線段DF、FC、EC、BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理分別計(jì)算出△AEF的三邊長(zhǎng)，即可求出△AEF的周長(zhǎng)；
（2）過A作AM⊥EF，設(shè)MF=x，則ME=5-x，根據(jù)勾股定理可知AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，代入相應(yīng)數(shù)值可以求出MF的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求出△AEF的高AM的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式算出△AEF的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，此題的難點(diǎn)是求△AEF的面積，解決問題的突破口是作出△AEF的高，設(shè)出未知數(shù)，算出FM的長(zhǎng)度．