Question

勾股定理是解決直角三角形很重要的數(shù)學(xué)定理．這個(gè)定理的證明的方法很多，也能解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．請(qǐng)按要求作答：
（1）用語(yǔ)言敘述勾股定理；
（2）選擇圖1、圖2、圖3中一個(gè)圖形來(lái)驗(yàn)證勾股定理；
（3）利用勾股定理來(lái)解決下列問(wèn)題：
如圖4，一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8，寬為3，高為5．在長(zhǎng)方體的底面上一點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，則螞蟻需要沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短路程是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,勾股定理的證明

專題：

分析：（1）在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
（2）利用S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED進(jìn)行解答．
（3）把長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高互不相等時(shí)，要分三種情況，根據(jù)勾股定理分別求出即可．

解答：解：（1）在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．           
（2）（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°．
∵S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED，
∴

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
整理，得a²+b²=c²．                                         
（3）把長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，當(dāng)長(zhǎng)、寬、高互不相等時(shí)，要分三種情況，根據(jù)勾股定理分別求出．
①當(dāng)展開(kāi)圖形為：②當(dāng)展開(kāi)圖為：③當(dāng)展開(kāi)圖為：

①AB=

128

   ②AB=

146

③AB=

172

∵128＜146＜172
∴螞蟻需要沿長(zhǎng)方體表面爬行的最短路程是8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的證明．解答該題時(shí)，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．