Question

設(shè)L是坐標(biāo)平面第二、四象限內(nèi)坐標(biāo)軸的夾角平分線．
（1）在L上求一點C，使它和兩點A（-4，-2）、B（5，3-2）的距離相等；
（2）求∠BAC的度數(shù)；
（3）求（1）中△ABC的外接圓半徑R及以AB為弦的弓形ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)C（x，-x），根據(jù)兩點間的距離公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；
（2）作BE⊥AC于E，求出AC，根據(jù)勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE、BE，求出∠A即可；
（3）求出△ABC的高CD的長，求出AB的長，根據(jù)圓周角定理求出∠AO'B，證△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根據(jù)三角形的面積和扇形的面積公式求出即可．
解答：解：（1）設(shè)C（x，-x），
∵AC=BC，
根據(jù)勾股定理得：（x+4）²+（-x+2）²=（x-5）²+，
解得：x=2，
∴C（2，-2）．
答：點C的坐標(biāo)是（2，-2）．

（2）AC∥x軸，作BE⊥AC于E，
∴AC=2+4=6，
由勾股定理得：BC==6，
∴AC=BC=6，BE=3，CE=3，
∴∠ABC=∠BAC=30°．
答：∠BAC的度數(shù)是30°．

（3）設(shè)圓心為O’，
∵∠ACB=180°∠A-∠ABC=120°，
∴∠AO'B=360°-2×120°=120°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA，AB=AB，
∴△AO'B≌△ACB，
∴AO=OB=AC=BC=6，
∴R=6，
連接O'C交AB于D，
則CD⊥AB，
∵∠CAB=30°，
∴CD=AC=3，
由勾股定理得：AD=3，
∴AB=2AD=6，
∴S_弓形ABC=S_扇形OACB-S_△ACB=-×6×3=12π-9．
答：（1）中△ABC的外接圓半徑R是6，以AB為弦的弓形ABC的面積是12π-9．
點評：本題主要考查對圓周角定理，三角形的面積，扇形的面積，勾股定理，兩點間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．