Question

如圖，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且PA=OA，連接PC，試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）有一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長，并寫出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于∠OAC=60°，易證得△OAC是等邊三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的結(jié)論知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP邊上的中線等于OP的一半，由此可證得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判斷出PC與⊙O的位置關(guān)系．
（3）此題應(yīng)考慮多種情況，若△MAO、△OAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此有四個(gè)符合條件的M點(diǎn)，即：C點(diǎn)以及C點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，可據(jù)此進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=

1

2

OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半徑，故PC與⊙O的位置關(guān)系是相切．

（3）如圖；有三種情況：
①取C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則此點(diǎn)符合M點(diǎn)的要求，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M₁（2，-2

3

）；
劣弧MA的長為：

60π×4

180

=

4π

3

；
②取C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，此點(diǎn)也符合M點(diǎn)的要求，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M₂（-2，-2

3

）；
劣弧MA的長為：

120π×4

180

=

8π

3

；
③取C點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，此點(diǎn)也符合M點(diǎn)的要求，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M₃（-2，2

3

）；
優(yōu)弧MA的長為：

240π×4

180

=

16π

3

；
④當(dāng)C、M重合時(shí)，C點(diǎn)符合M點(diǎn)的要求，此時(shí)M₄（2，2

3

）；
優(yōu)弧MA的長為：

300π×4

180

=

20π

3

；
綜上可知：當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為

4π

3

、

8π

3

、

16π

3

、

20π

3

，
對應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)分別為：M₁（2，-2

3

）、M₂（-2，-2

3

）、M₃（-2，2

3

）、M₄（2，2

3

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定以及弧長的計(jì)算方法，注意（3）題中分類討論思想的運(yùn)用，不要漏解．