Question

1．如圖，長(zhǎng)方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，4）和點(diǎn)E（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在條件（2）下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得△BDM的周長(zhǎng)為最小，并求△BDM周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在條件（2）下，從B點(diǎn)到E點(diǎn)這段拋物線的圖象上，是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出△PAD面積的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO，從而得到OD=AO=1，于是可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，從而得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，△BMD的周長(zhǎng)有最小值，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得BD和B′D的長(zhǎng)度，從而得到三角形的周長(zhǎng)最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得D、B′的解析式，然后將點(diǎn)M的橫坐標(biāo)代入可求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（4）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．設(shè)點(diǎn)F（a，-2a²+6a），則OG=a，F(xiàn)G=-2a²+6a．然后依據(jù)S_△FDA=S_梯形DOGF-S_△ODA-S_△AGF的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{9a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-2x²+6x．
（2）如圖1所示；

∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°．
∴∠BDC+∠EDO=90°．
又∵∠ODE+∠DEO=90°，
∴∠BDC=∠DE0．
在△BDC和△DOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠DOE=90°}\\{∠BDC=∠DEO}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△DEO．
∴OD=AO=1．
∴D（0，1）．
（3）如圖2所示：作點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D交拋物線的對(duì)稱軸與點(diǎn)M．

∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，4）．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱，
∴MB=B′M．
∴DM+MB=DM+MB′．
∴當(dāng)點(diǎn)D、M、B′在一條直線上時(shí)，MD+MB有最小值（即△BMD的周長(zhǎng)有最小值）．
∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知：BD=$\sqrt{{1}^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$，DB′=$\sqrt{{2}^{2}+（4-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴△BDM的最小值=$\sqrt{10}$+$\sqrt{13}$．
設(shè)直線B′D的解析式為y=kx+b．
將點(diǎn)D、B′的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=1．
∴直線DB′的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+1．
將x=$\frac{3}{2}$代入得：y=$\frac{13}{4}$．
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{4}$）．
（4）如圖3所示：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．

設(shè)點(diǎn)P（a，-2a²+6a），則OG=a，PG=-2a²+6a．
∵S_梯形DOGP=$\frac{1}{2}$（OD+PG）•OG=$\frac{1}{2}$（-2a²+6a+1）×a=-a³+3a²+$\frac{1}{2}$a，S_△ODA=$\frac{1}{2}$OD•OA=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，S_△AGP=$\frac{1}{2}$AG•PG=-a³+4a²-3a，
∴S_△PDA=S_梯形DOGP-S_△ODA-S_△AGP=-a²+$\frac{7}{2}$a-$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)a=$\frac{7}{4}$時(shí)，S_△PDA的最大值為$\frac{41}{16}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{4}$，$\frac{35}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到△FDA的面積與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．