Question

已知兩直線l₁，l₂分別經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（-1，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y負(fù)半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點(diǎn)D，如圖所示．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）求出拋物線的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)直線l₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度（0°＜α＜90°）時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P（x，y），求四邊形APCB面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最大值；
（4）當(dāng)直線l₁繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，請找出使△ECD為等腰三角形的點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角對應(yīng)相等兩三角形相似即可判定兩三角形相似；
（2）利用求得的相似三角形的對應(yīng)邊的比相等得到線段OC的長即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（3）利用S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP即可求得S與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（4分以點(diǎn)D為圓心，線段DC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)E₁、當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CD長為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)E₁和點(diǎn)B、作線段DC的中垂線l，交CD于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)E₂，E₃，三種情況求得點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠OCA
∵∠BOC=∠AOC=90°
∴BOC∽△COA；

（2）由△BOC∽△COA 得，即
∴
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-）；
由題意，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-
把A（3，0），B（-1，0）的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx-，得，
解這個(gè)方程組，得
∴拋物線的函數(shù)解析式為；

（3）S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP
=OB•CO+×OA（-y）+CO•x
=-3[（x²-2x-3）×2]+
=-x2++2（0＜x＜）
當(dāng)x=屬于（0＜x＜3）時(shí)，S的最大值是；

（4）可求得直線l₁的解析式為，直線l₂的解析式為
拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，）
由此可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），
（i）以點(diǎn)D為圓心，線段DC長為半徑畫圓弧，交拋物線于點(diǎn)E₁，由拋物線對稱性可知點(diǎn)E₁為點(diǎn)C關(guān)于直線x=-1的對稱點(diǎn)
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（2，），此時(shí)△E₁CD為等腰三角形；
（ii）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CD長為半徑畫圓弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)E₁和點(diǎn)B，而三點(diǎn)B、C、D在同一直線上，不能構(gòu)成三角形；
（iii）作線段DC的中垂線l，交CD于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)E₂，E₃，交y軸于點(diǎn)F
因?yàn)镺B=1，，所以∠MCF=∠D=∠OCB=30°，CM=CD=1
可求得CF=，OF=
因?yàn)橹本�l與l₁平行，所以直線l的解析式為
所以  解得x=1，或x=2，
說明E₂就是頂點(diǎn)（1，），E₃就是E₁（2，），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（2，-），（1，-）時(shí)，△DCE為等腰三角形．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和四邊形的面積求法．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．