Question

在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB＝14，OC＝，AC與y軸交于點(diǎn)E．

(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；
(2)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
(3)已知點(diǎn)F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)在Rt△OCE中， OE＝OCtan∠OCE＝＝， ∴點(diǎn)E(0，2)． 設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx+， 有， 解得：k＝． ∴直線AC的函數(shù)解析式為y＝； (2)在Rt△OGE中， tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝， 設(shè)EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t， ∴，得t＝2， 故EG＝6，OG＝10， ∴S△OEG＝； (3)存在． ①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，如圖1， 作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P1， 由△OP1F≌△OP1Q， 則有P1F⊥x軸， 由于點(diǎn)P1在直線AC上， 當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣＝， ∴點(diǎn)P1(10，)； ②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，如圖2， 有OQ＝OF， 作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P2， 過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H， 設(shè)OH＝a，則BH＝QH＝14﹣a， 在Rt△OQH中， a2+(14﹣a)2＝100， 解得：a1＝6，a2＝8， ∴Q(﹣6，8)或Q(﹣8，6)． 連接QF交OP2于點(diǎn)M． 當(dāng)Q(﹣6，8)時(shí)，則點(diǎn)M(2，4)． 當(dāng)Q(﹣8，6)時(shí)，則點(diǎn)M(1，3)． 設(shè)直線OP2的解析式為y＝kx， 則2k＝4，k＝2． ∴y＝2x． 解方程組， 得． ∴P2()； 當(dāng)Q(﹣8，6)時(shí)，則點(diǎn)M(1，3)． 同理可求P2'()． 綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為 (10，)或() 或()．