Question

觀察下列等式，回答問題．
16-1=15，25-4=21，36-9=27，49-16=33…
（1）第5個(gè)等式是______；
（2）用自然數(shù)n（其中n≥1）表示上面一系列等式所反映出來的規(guī)律是______．

Answer 1

解：由16-1=15，4²-1²=3×5；
25-4=21，5²-2²=3×7；
36-9=27，6²-3²=3×9；
49-16=33，7²-4²=3×11；
可以看出：等式左邊：被減數(shù)的底數(shù)4，5，6，7…呈現(xiàn)的規(guī)律為：首項(xiàng)為4，等差為1的等差數(shù)列，所以第n項(xiàng)為：4+n-1=n+3；
減數(shù)的底數(shù)1，2，3，4…呈現(xiàn)的規(guī)律為：首項(xiàng)為1，等差為1的等差數(shù)列，所以第n項(xiàng)為：1+n-1=n；
等式右邊：5，7，9，11…呈現(xiàn)的規(guī)律是：首項(xiàng)為5，等差為2的等差數(shù)列，所以第n項(xiàng)為：5+2（n-1）=2n+3；
所以用自然數(shù)n表示上面一系列等式所反映的規(guī)律為：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
分析：將上述等式等價(jià)變換成4²-1²=3×5，5²-2²=3×7；6²-3²=3×9；7²-4²=3×11，得出等式兩邊個(gè)分項(xiàng)之間的關(guān)系式，分別推出第n項(xiàng)時(shí)各個(gè)分式的值，再按各個(gè)等式的格式推出規(guī)律為：（n+3）²-n²=3（2n+3）．
點(diǎn)評：本題屬于規(guī)律型的，關(guān)鍵在于通過等價(jià)變換后，對各個(gè)等式中各個(gè)項(xiàng)呈現(xiàn)的不同規(guī)律，推出用自然數(shù)n表示的規(guī)律為：（n+3）²-n²=3（2n+3），期間用到的小知識點(diǎn)有等差數(shù)列，平方差等．