Question

某廠生產一種旅行包，每個包的成本為40元，售價為60元．該廠為了鼓勵銷售上訂購，決定：當一次訂購量超過100個時，每多訂一個，訂購的全部旅行包的單價就降低0.02元，根據市場調查，銷售商一次訂購不會超過500個．
（1）設銷售商一次訂購量為x個，旅行包的實際出廠單價為y元，寫出當一次訂購量超過100個時，y與x的關系式；
（2）求當銷售商一次訂購x個旅行包時，可使該廠獲得利潤為w元，求出當一次訂購量超過100個時，w與x之間的函數關系式；
（3）如果該廠想獲得最大的利潤，請你幫它算一算它應讓銷售商一次訂購多少個旅行包？最大利潤又是多少？

Answer 1

解：（1）由題意得，多訂了（x-100）個，降價0.02（x-100）元，
則可得y=60-（x-100）×0.02=62-0.02x（0＜x＜500）；

（2）∵利潤=（實際出廠單價-成本）×銷售量，
∴可得利潤w=[y-40]×x=（22-0.02x）×x=-0.02x²+22x；

（3）①當x≤100時，w=（60-40）x=20x，最大利潤為2000；
②當100＜x≤500時，w=-0.02x²+22x=-0.02（x-550）²+6050，
∵w隨x的增大而增大，
∴當x=500時，w取最大，w_最大=-0.02×50²+6050=6000元．
綜上可得當訂購量為500時，廠商獲得最大利潤，且最大利潤為6000元．
分析：（1）可根據關鍵語“當一次訂購量超過100個時，每多訂一個，訂購的全部旅行包的出廠單價就降低0.02元．”來列函數式．
（2）根據利潤=（實際出廠單價-成本）×銷售量，可得出利潤關于x的二次函數關系式，從而利用二次函數的最值可得出答案．
（3）需要討論一次訂購數x的范圍，①x≤100，求出此時的最大利潤，②100＜x≤500，根據（2）的二次函數關系式，利用函數的最值求出最大利潤，從而比較兩結果即可．
點評：本題考查了二次函數的應用，難度一般，二次函數的應用一般都會涉及二次函數最值的求解，因此要求我們熟練掌握配方法求函數的最值．