Question

已知m、n滿足|m-12|+（n-m+10）²=0．
（1）求m、n的值；
（2）已知線段AB=m，在直線AB上取一點(diǎn)P，恰好是AP=nPB，點(diǎn)Q為BP的中點(diǎn)，求線段AQ的長．

Answer 1

解：（1）∵|m-12|+（n-m+10）²=0，
∴m-12=0，n-m+10=0，
∴m=12，n=2；

（2）線段AB=12，AP=2PB，
當(dāng)點(diǎn)P線段AB上，如圖1，
∵PA+PB=AB，
而AB=12，AP=2PB，
∴2PB+PB=12，
∴PB=4，AP=8，
又∵點(diǎn)Q為BP的中點(diǎn)，
∴PQ=PB=2，
∴AQ=AP+PQ=8+2=10；
當(dāng)點(diǎn)P線段AB的延長線上，如圖2，
∵PA=PB+AB，
而AB=12，AP=2PB，
∴12+PB=2PB，
∴PB=12，
又∵點(diǎn)Q為BP的中點(diǎn)，
∴BQ=PB=6，
∴AQ=AB+BQ=12+6=18，
所以線段AQ的長為10或18．
分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得到m-12=0，n-m+10=0，即可求出m、n的值；
（2）線段AB=12，AP=2PB．討論：當(dāng)點(diǎn)P線段AB上，則PA+PB=AB，即2PB+PB=12，可計(jì)算得到PB=4，AP=8，又點(diǎn)Q為BP的中點(diǎn)，則PQ=PB=2，利用AQ=AP+PQ求出AQ；
當(dāng)點(diǎn)P線段AB的延長線上，則PA=PB+AB，即12+PB=2PB，得到PB=12，又點(diǎn)Q為BP的中點(diǎn)，則BQ=PB=6，利用AQ=AB+BQ可計(jì)算出AQ的長．
點(diǎn)評：本題考查了兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)之間的連線段的長叫兩點(diǎn)間的距離．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、線段中點(diǎn)的定義以及分類討論思想的運(yùn)用．