Question

已知正方形ABCD的邊長為，過正方形的頂點A和對角線交點O作⊙O′，分別交AB、AD于F、E，⊙O′的半徑為．
（1）求證：AE=BF．
（2）現給出以下兩個結論：①△AEF的面積不變；②的值不變．其中只有一個結論是正確的，請選擇正確的結論并求其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE、OF，利用旋轉及正方形的性質可證△AOE≌△BOF，可得AE=BF；
（2）連接EF，由∠EAF=90°，可判斷EF為直徑，由勾股定理得AE²+AF²=3，由（1）的結論可知AE+AF=AB=+1，將AE+AF=+1兩邊平方，可得AE•AF=2，從而計算△AEF的面積．
解答：（1）證明：連接OE、OF，
由圓內接四邊形性質可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性質可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）解：△AEF的面積不變，正確．
理由：連接EF，
∵∠EAF=90°，∴直徑EF=，
由勾股定理，得AE²+AF²=3，
又AE+AF=AB=+1，
解得AE•AF=，
∴S_△AEF=AE•AF=．
點評：本題考查了用旋轉的性質證明全等三角形的方法，正方形、圓的有關性質及勾股定理的運用．關鍵是利用旋轉的知識尋找三角形全等的條件．