Question

如圖，矩形EFGD的邊EF在△ABC的BC邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上、已知AB=AC=5，BC=6，設(shè)BE=x，S_矩形EFGD=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）連接EG，當(dāng)△GEC為等腰三角形時(shí)，求y的值．

Answer 1

分析：（1）易證得△BDE≌△CGF，則BE=FC=x，那么EF=6-2x；可過(guò)A作BC的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為M，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，可求得BM、CM的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得AM的長(zhǎng)；易知△CGF∽△CAM，通過(guò)相似三角形的成比例線(xiàn)段即可求得GF的表達(dá)式，根據(jù)矩形的面積即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）Rt△EFG中，由勾股定理可求出EG的表達(dá)式；同理可在Rt△CFG中得到CG的表達(dá)式；
由于△GEC的腰和底不確定，所以要分三種情況討論：
①CE=CG，②EG=EC，③CG=GE；
根據(jù)上述三種情況得出的三個(gè)不同的關(guān)于x的方程，即可求得x的值，再將其代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得y的值．（需注意x的值應(yīng)符合（1）的自變量的取值范圍）

解答：解：（1）過(guò)A作AM⊥BC于M；
Rt△AMC中，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴CM=

1

2

BC=3，AC=5；
由勾股定理，得AM=

AC2-CM2

=4；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠DEB=∠GFC=90°，DE=FG；
∴△DEB≌△GFC；
∴BE=FC=x；
易知GF∥AM，則△CFG∽△CMA；
∴

CF

CM

=

GF

AM

，即GF=CF•AM÷CM=

4

3

x；
∴y=（6-2x）×

4

3

x=-

8

3

x²+8x；（0＜x＜3）

（2）Rt△EFG中，F(xiàn)G=

4

3

x，EF=6-2x，則EG²=

16

9

x²+（6-2x）²=

52

9

x²-24x+36；
Rt△CGF中，易知CG=

5

3

x，即CG²=

25

9

x²；
EC=6-x，則EC²=（6-x）²=36-12x+x²；
①當(dāng)EG=CG時(shí)，EF=FC，即6-2x=x，x=2；此時(shí)y=（6-2x）×

4

3

x=

16

3

；
②當(dāng)EG=CE時(shí)，EG²=CE²，即

52

9

x²-24x+36=36-12x+x²，解得x=0（舍去），x=

108

43

；
此時(shí)y=（6-2x）×

4

3

x=

6048

1849

；
③當(dāng)CG=CE時(shí)，CG²=CE²，即

25

9

x²=36-12x+x²，解得x=

9

4

，x=-9（舍去）；
此時(shí)y=（6-2x）×

4

3

x=

9

2

．
故當(dāng)△CEG是等腰三角形時(shí)，y的值為：

16

3

或

6048

1849

或

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．