Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若直線l過(guò)點(diǎn)E（4，0），M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在中，令y=0，即，解得x₁=﹣4，x₂=2。

                ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣4，0）、B（2，0）。

（2）由得，對(duì)稱軸為x=﹣1。

 在中，令x=0，得y=3。

     ∴OC=3，AB=6，。

在Rt△AOC中，。

設(shè)△ACD中AC邊上的高為h，則有AC•h=9，解得h=。

如圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L₁和L₂，則直線與對(duì)稱軸x=﹣1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D。

 

 

設(shè)L₁交y軸于E，過(guò)C作CF⊥L₁于F，則CF=h=，

∴。

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

將A（﹣4，0），B（0，3）坐標(biāo)代入，得

，解得。來(lái)源:21

∴直線AC解析式為。來(lái)源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]

直線L₁可以看做直線AC向下平移CE長(zhǎng)度單位（個(gè)長(zhǎng)度單位）而形成的，

∴直線L₁的解析式為。

則D₁的縱坐標(biāo)為�！郉₁（﹣4，）。

同理，直線AC向上平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到L₂，可求得D₂（﹣1，）。

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D₁（﹣4，），D₂（﹣1，）。

（3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過(guò)E點(diǎn)作⊙F的切線，這樣的切線有2條．

連接FM，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N。

 

 

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3。

又FE=5，則在Rt△MEF中，-

ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。

在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，

FN=MN•cos∠MFE=3×。

則ON=�！郙點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

直線l過(guò)M（，），E（4，0），

設(shè)直線l的解析式為y=k₁x+b₁，則有，解得。

∴直線l的解析式為y=x+3。

同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3。

綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3。

【解析】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線平行和平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義。

（1）A、B點(diǎn)為拋物線與x軸交點(diǎn)，令y=0，解一元二次方程即可求解。

（2）根據(jù)題意求出△ACD中AC邊上的高，設(shè)為h．在坐標(biāo)平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h．根據(jù)等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn)．從一次函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下平移而形成．因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)。這樣的平行線有兩條。

（3）本問(wèn)關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”的含義．因?yàn)檫^(guò)A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個(gè)直角三角形；第三個(gè)直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮，以AB為直徑作圓，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形．從而問(wèn)題得解。這樣的切線有兩條。