Question

如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點(diǎn)O．

（1）求邊AB的長(zhǎng)；

（2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G．

①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說(shuō)明理由；

②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BE＞CE），求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，確定△AOB為直角三角形，然后利用勾股定理求出邊AB的長(zhǎng)度；

（2）①本小問(wèn)為探究型問(wèn)題．要點(diǎn)是確定一對(duì)全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根據(jù)已知條件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等邊三角形；

②本小問(wèn)為計(jì)算型問(wèn)題．要點(diǎn)是確定一對(duì)相似三角形△CAE∽△CFG，由對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求出CG的長(zhǎng)度．解答：

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD= 3 ．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB=．

（2）①△AEF是等邊三角形．理由如下：

∵由（1）知，菱形邊長(zhǎng)為2，AC=2，

∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF．

在△ABE與△ACF中，

∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．

②BC=2，E為四等分點(diǎn)，且BE＞CE，

∴CE=，BE=．

由①知△ABE≌△ACF，

∴CF=BE=．

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內(nèi)角），

∠EGA=∠CGF（對(duì)頂角）

∴∠EAC=∠GFC．

在△CAE與△CFG中，

∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，

∴△CAE∽△CFG ，

∴，即，

解得：CG=．

【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，綜合考查了相似三角形、全等三角形、四邊形（菱形）、三角形（等邊三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．雖然涉及考點(diǎn)眾多，但本題著重考查基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大，需要同學(xué)們深刻理解教材上的基礎(chǔ)知識(shí)，并能夠熟練應(yīng)用．