Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，直線BD平分∠OBA，交x軸于D點．

（1）連接AB的中點M交BD于N，求證：ON=OD．
（2）如圖2，過點A作AE⊥BD，垂足為E，猜想AE與BD間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，在x軸上有一個動點P（在A點的右側(cè)），連接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，連接FA并延長交y軸于G點，當(dāng)P點在運動時，OG的長是否發(fā)生改變？若改變，請求出它的變化范圍；若不變，求出它的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點A、B的坐標(biāo)，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=22.5°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)OM⊥AB，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角對等邊得到ON=OD；
（2）延長AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再證△OAC≌△OBD得到BD=AE，從而得到BD=2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足為H，利用角角邊定理可以證明△OBP與△HPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FH=OP、PH=OB=4，再證AH=FH，∠FAH=∠OAG=45°，OG=OA=4．

解答：（1）證明：∵直線y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，
當(dāng)x=0時，y=4，
當(dāng)y=0時，-x+4=0，
解得x=4，
∴點A、B的坐標(biāo)是A（4，0），B（0，4），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵點M是AB的中點，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA=45°，
∵直線BD平分∠OBA，
∴∠ABD=

1

2

∠ABO=22.5°，
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠OND=∠ODB，
∴ON=OD（等角對等邊）；（3分）

（2）答：BD=2AE．（4分）
理由如下：延長AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE⊥BD于點E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE≌△CBE中，

∠ABD=∠CBD BE=BE ∠AEB=∠CEB=90°

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2AE，（5分）
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE=90°，
又∠OBD+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO（對頂角相等），
∴∠OAC=∠OBD，
在△OAC與△OBD中，

∠OAC=∠OBD OA=OB ∠BOD=∠AOC

，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD=AC，
∴BD=2AE；（7分）

（3）解：OG的長不變，且OG=4．（8分）
過F作FH⊥OP，垂足為H，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∵∠BPF=90°，
∴∠BPO+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP=FP，
在△OBP與△HPF中，

∠FPH=∠BPO ∠BOP=∠FHP=90° BP=FP

，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH=OP，PH=OB=4，（10分）
∵AH=PH+AP=OB+AP，OA=OB，
∴AH=OA+OP=OP，
∴FH=AH，
∴∠GAO=∠FAH=45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG=OA=4．（12分）

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)，全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，綜合性較強，求解比較繁瑣，但只要仔細(xì)分析，認(rèn)真求解也不難解決，難度較大．