Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，BC=3，△DEF是邊長(zhǎng)為a（a為小于3的常數(shù)）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點(diǎn)D在線段AC上，DE∥AB，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長(zhǎng)為T．

（1）求證：點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)；
（2）若AD= ，當(dāng)a=2時(shí)，求T的值；
（3）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得：tanA= = = ，

∴∠A=60°．

∵DE∥AB，

∴∠CDE=∠A=60°．

如答圖1所示，過點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，

則EH=DEsin∠CDE=a = a．

∴點(diǎn)E到AC的距離為一個(gè)常數(shù)

（2）

解：若AD= ，當(dāng)a=2時(shí)，如答圖2所示．

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N．

∵△DEF為等邊三角形，∴∠MDE=60°，

由（1）知∠CDE=60°，

∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，

又∵∠A=60°，

∴△ADM為等邊三角形，

∴DM=AD= ．

過點(diǎn)M作MG∥AC，交DE于點(diǎn)G，則∠DMG=∠ADM=60°，

∴△DMG為等邊三角形，

∴DG=MG=DM= ．

∴GE=DE﹣DG=2﹣ = ．

∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，

又∵DE∥AB，

∴四邊形MGEN為平行四邊形．

∴NE=MG= ，MN=GE= ．

∴T=DE+DM+MN+NE=2+ + + =

（3）

解：若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，分情況討論如下：

①若0＜a≤ ，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示：

∴T=3a；

②若 ＜a≤ ，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示：

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)M作MG∥AC交DE于點(diǎn)G．

與（2）同理，可知△ADM、△DMG均為等邊三角形，四邊形MGEN為平行四邊形．

∴DM=DG=NE=AD= ，MN=GE=DE﹣DG=a﹣ ，

∴T=DE+DM+MN+NE=a+ +（a﹣ ）+ =2a+ ；

③若 ＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示：

設(shè)AB與DF、EF分別交于點(diǎn)M、N，BC與DE、EF分別交于點(diǎn)P、Q．

在Rt△PCD中，CD= ，∠CDP=60°，∠DPC=30°，

∴PC=CDtan60°= × = ．

∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．

由（1）知，點(diǎn)E到AC的距離為 a，∴PQ= a﹣ ．

∴QE=PQtan30°=（ a﹣ ）× = a﹣ ，PE=2QE=a﹣ ．

由②可知，四邊形MDEN的周長(zhǎng)為2a+ ．

∴T=四邊形MDEN的周長(zhǎng)﹣PE﹣QE+PQ=（2a+ ）﹣（a﹣ ）﹣（ a﹣ ）+（ a﹣ ）= a+ ﹣ ．

綜上所述，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，T的關(guān)系式為：

T=

【解析】（1）解直角三角形，求得點(diǎn)E到AC的距離等于 a，這是一個(gè)定值；（2）如答圖2所示，作輔助線，將四邊形MDEN分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)平行四邊形，求出其周長(zhǎng)；（3）可能存在三種情形，需要分類討論：①若0＜a≤ ，△DEF在△ABC內(nèi)部，如答圖3所示；②若 ＜a≤ ，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)F在△ABC外部，在如答圖4所示；③若 ＜a＜3，點(diǎn)E、F均在△ABC外部，如答圖5所示．