Question

【題目】探索：如圖1，在中，，．求證：；

發(fā)現(xiàn)：直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_______．

應(yīng)用：如圖2，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．

（1）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值；如果不能，請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】探索：；發(fā)現(xiàn)：一半；應(yīng)用：（1）能，當(dāng)秒時(shí)，四邊形為菱形；（2）當(dāng)t=7.5或12秒時(shí)，△DEF為直角三角形

【解析】

探索：先判斷出BD=AC=AD，進(jìn)而判斷出△ABD是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
發(fā)現(xiàn)：直接由發(fā)現(xiàn)得出結(jié)論；
應(yīng)用：（1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即60-4t=2t，解方程即可解決問題；
（2）分三種情形討論①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)．③若∠EFD=90°，分別求解即可．

探索：作邊上的中線，

∵在中，，

∴，，

∴是等邊三角形

∴；

發(fā)現(xiàn)：由探索知，直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么這個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，
故答案為：一半；

應(yīng)用：（1）能，理由如下：

在中，，，，

∴，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

又∵，

∴四邊形為平行四邊形．

當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，即，解得，

∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形為菱形；

（2）①當(dāng)時(shí)，由（1）知四邊形為平行四邊形，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

又，

∴，解得；

②當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，

在中，則，

∴，即，

解得；

③若，則與重合，與重合，此種情況不存在．

綜上所述，當(dāng)t=7.5或12秒時(shí)，△DEF為直角三角形．