在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-數(shù)學(xué)公式x2+mx-n與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y軸交于C點(diǎn).已知A、B兩點(diǎn)都在x軸負(fù)半軸上(A左B右),△AOC與△COB相似,且tan∠CBO=4tan∠BCO.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若此拋物線的對稱軸與直線y=nx交于D.以D為圓心,作與x軸相切的圓,交y軸于M、N兩點(diǎn).求劣弧MN所對的弓形面積;
(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)F,使得FD+FA的值最小,若存在,求出△ABF的面積,若不存在,說明理由.

解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=-n,
∴C(0,-n).
∵tan∠CBO=,tan∠BCO=,
=4
∴OC=2OB
∴B(-,0)
∵△AOC∽△COB
∴OC2=OA•OB
∴A(-2n,0)
把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得:

解方程組得:
所以拋物線的解析式為:y=-x2-x-2;

(2)拋物線的對稱軸為:x=-,
y=2x,
∴D(-,-5),
如圖:連接DM,DN,過點(diǎn)D作DH⊥MN于H,
則:DM=5,DH=,
∴∠MDH=60°,
∴∠MDN=120°
S弓形=S扇形MDN-S△MDN
=π•25-•5
=-

(3)點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E(,-5)
點(diǎn)A(-4,0),
AE的解析式為:y=-x-
∴F(0,-
S△ABF=AB•OF=•3•=
分析:(1)當(dāng)x=0時(shí),得點(diǎn)C(0,-n),由tan∠CBO=4tan∠BCO,得點(diǎn)B(-,0),根據(jù)△AOC與△COB相似,得點(diǎn)A(-2n,0),然后把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線,求出拋物線的解析式.
(2)拋物線的對稱軸為x=-,直線y=2x,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),確定圓的半徑,利用垂徑定理得到M,N的坐標(biāo),然后求出弓形的面積.
(3)求出點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E的坐標(biāo),連接AE交y軸于點(diǎn)F,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),計(jì)算出△ABF的面積.
點(diǎn)評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,(1)用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式,(2)數(shù)形結(jié)合,確定圓的半徑和扇形的圓心角,計(jì)算弓形的面積,(3)根據(jù)對稱性確定點(diǎn)F的坐標(biāo),然后求出三角形的面積.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)為了參加市科技節(jié)展覽,同學(xué)們制造了一個截面為拋物線形的隧道模型,用了三種正方形的鋼筋支架.在畫設(shè)計(jì)圖時(shí),如果在直角坐標(biāo)系中,拋物線的函數(shù)解析式為y=-x2+c,正方形ABCD的邊長和正方形EFGH的邊長之比為5:1,求:
(1)拋物線解析式中常數(shù)c的值;
(2)正方形MNPQ的邊長.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(0,3),過A精英家教網(wǎng),B,C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l,D為對稱軸l上一動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)以點(diǎn)A為圓心,以AD為半徑作⊙A.
①證明:當(dāng)AD+CD最小時(shí),直線BD與⊙A相切;
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí),D點(diǎn)的另一個坐標(biāo):
 

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(1)求拋物線的解析式;
(2)求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)以點(diǎn)A為圓心,以AD為半徑作⊙A.
①證明:當(dāng)AD+CD最小時(shí),直線BD與⊙A相切;
②寫出直線BD與⊙A相切時(shí),D點(diǎn)的另一個坐標(biāo):______.

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(1)拋物線解析式中常數(shù)c的值;
(2)正方形MNPQ的邊長.

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(1)拋物線解析式中常數(shù)c的值;
(2)正方形MNPQ的邊長.

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