Question

如圖，矩形ABCD中，EF是其對(duì)稱軸，N在EF上，且BA=BN，現(xiàn)將AB折到與NB重合后展平，設(shè)折痕為BM（M在AD邊上）．
（1）尺規(guī)作圖：作出折痕BM（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）求∠MBN的度數(shù)；
（3）設(shè)MN的延長(zhǎng)線交BC于G，試判定△BMG的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）

（2）依題意得：△ABM≌△BMN，
∴∠MNB=∠A=90°，∠1=∠2，
設(shè)BM與EF的交點(diǎn)為H，由EF是矩形ABCD的對(duì)稱軸，
∴EF∥AD∥BC，且E為AB中點(diǎn)，
∴H也為BM中點(diǎn)，且∠MNB=90°，
∴HN=BH，
又EF∥BC，
∴∠4=∠3，
∵△BMN與△BGN關(guān)于BN對(duì)稱，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ABC=90°，
∴∠MBN=30°；

（3）∵EF∥BC，且E為AB中點(diǎn)，
∴N也為MG的中點(diǎn)，
又∠MNB=90°，∠MBN=30°，
∴∠BMG=∠MBG=60°
∴△BMG為正三角形．
分析：（1）做∠ABN的角平分線，角平分線叫AD與M點(diǎn)，BM即為折痕；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，推出∠1=∠2，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，推出EF∥AD∥BC，推出∠1=∠2=∠3即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)即可推出∠BMG=∠MBG=60°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、等邊三角形的定義和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫出圖形、連接輔助線、推出∠1=∠2=∠3．