Question

【題目】在△ABC中，∠A=40°：
（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；
（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當∠A=n°時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°﹣（∠ABC+∠ACB），

∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴2∠BOC=180°+∠A，

∴∠BOC=90°+ ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=110°；

（2）解：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），

∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，

=180°﹣ （∠A+∠ACB）﹣ （∠A+∠ABC），

=180°﹣ ∠A﹣ （∠A+∠ABC+∠ACB），

結(jié)論∠BOC=90°﹣ ∠A．∠BOC=90°﹣ ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=70°．

（3）解：∵∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，

而BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，

∴∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，

∴2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，

∴2∠BOC=∠A，

即∠BOC= ∠A．

當∠A=40°，∠BOC=20°

（4）解：∠BOC=90°+ n；∠BOC=90°﹣ n；∠BOC= n
【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB，則2∠BOC=360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BOC=90°+ ∠A．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)可得到∠BOC=90°﹣ ∠A；（3）根據(jù)角平分線的定義得∠ACE=2∠OCE，∠ABC=2∠OBC，由三角形外角的性質(zhì)有∠OCE=∠BOC+∠OBC，∠ACE=∠ABC+∠A，則2∠BOC+2∠OBC=∠ABC+∠A，即可得到∠BOC= ∠A；（4）利用以上結(jié)論直接得出答案即可．
【考點精析】利用三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．