Question

如圖，直線AE與以AB為直徑的⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C、D在⊙O上，并分別位于AB的兩側(cè)，∠EAC=60°．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵AE是⊙O的切線，
∴BA⊥AE，即∠BAE=90°，
∵∠EAC=60°，∴∠BAC=30°，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACB-∠BAC=60°，
∵∠B與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角，
∴∠D=∠B=60°；
（2）連接OC，
∵OB=OC，∠B=60°，
∴△OBC是等邊三角形．
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長(zhǎng)==．
分析：（1）由AE為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到BA與AE垂直，由∠EAC的度數(shù)求出∠BAC的度數(shù)，再由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB為直角，可得出∠B的度數(shù)，最后利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出∠D的度數(shù)；
（2）連接OC，由OB=OC，且∠B為60°，得到三角形BOC為等邊三角形，得到OB=BC=4，∠BOC為60°，利用鄰補(bǔ)角定義得到∠AOC為120°，由半徑為4，利用弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．