Question

如圖，點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上一個動點，點M、N分別是AB、BC邊上的中點，則MP+NP的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．然后證明四邊形PMBN為菱形，即可求出MP+NP=BM+BN=BC=1．
解答：解：作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP有最小值．
∵菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，
∴M′是AD的中點，
又N是BC邊上的中點，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四邊形AM′NB是平行四邊形，
∴PN∥AB，
連接PM，
又∵N是BC邊上的中點，
∴P是AC中點，
∴PM∥BN，PM=BN，
∴四邊形PMBN是平行四邊形，
∵BM=BN，
∴平行四邊形PMBN是菱形．
∴MP+NP=BM+BN=BC=1．
故答案為1．
點評：考查菱形的性質和軸對稱，判斷當PMBN為菱形時，MP+NP有最小值，是關鍵．