Question

18．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），設(shè)BP=x，連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N．
（1）求證：AM=AN；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，線段BM的長(zhǎng)度最大；
（3）當(dāng)∠BAD=15°時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結(jié)論．
（2）首先證得△BPM∽△CAP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BM=-$\frac{1}{2}$x²+x，繼而求得答案．
（3）首先連接DE，分別交AB，AC于點(diǎn)G，H，連接PG，由∠BAD=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設(shè)BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=$\sqrt{3}$t，從而求得t的值，即可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠PAN}\\{AD=AP}\\{∠ADM=∠APN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△APN（ASA），
∴AM=AN．

（2）∵△ABC、△ADP是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°-∠ADM-∠DMA=180°-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴$\frac{BM}{CP}$=$\frac{BP}{CA}$，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，BP=x，
∴CP=2-x，CA=2，
∴$\frac{BM}{2-x}=\frac{x}{2}$，
∴BM=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x=1時(shí)，線段BM的長(zhǎng)度最大；

（3）如圖，連接DE，分別交AB，AC于點(diǎn)G，H，連接PG，
∵∠BAD=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等邊三角形，
∴四邊形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
設(shè)BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=$\sqrt{3}$t，
∴AG=PG=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t+t=2，
解得t=$\sqrt{3}$-1，
∴x=2t=2$\sqrt{3}$-2．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于三角形的綜合題．考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．