Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

2 3

x

（x＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．
（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)：
①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
②在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

？若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形OKPA是正方形．當(dāng)⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切時(shí)，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結(jié)論；
（2）①連接PB，設(shè)點(diǎn)P（x，

2 3

x

），過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質(zhì)得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

，利用sin∠PBG=

PG

PB

，列方程求x即可；
②求直線PB的解析式，利用過(guò)A點(diǎn)或C點(diǎn)且平行于PB的直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，列方程組求滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四邊形OKPA是正方形．（2分）

（2）①連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為

2 3

x

．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G．
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑）．
∴△PBC為等邊三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=

2 3

x

．
sin∠PBG=

PG

PB

，即

3

2

=

2 3 x

x

．
解之得：x=±2（負(fù)值舍去）．
∴PG=

3

，PA=BC=2．（4分）
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，

3

），B（1，0），C（3，0）．（6分）
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．
據(jù)題意得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

解之得：a=

3

3

，b=-

4 3

3

，c=

3

．
∴二次函數(shù)關(guān)系式為：y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

．（9分）

②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：

u+v=0 2u+v= 3

解之得：u=

3

，v=-

3

．
∴直線BP的解析式為：y=

3

x-

3

，
過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：y=

3

x+

3

．
解方程組：

y= 3 x+ 3 y= 3 3 x2- 4 3 3 x+ 3

得：

x1=0 y1= 3

；

x2=7 y2=8 3

．
過(guò)點(diǎn)C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：y=

3

x+t．
∴0=3

3

+t．
∴t=-3

3

．
∴直線CM的解析式為：y=

3

x-3

3

．
解方程組：

y= 3 x-3 3 y= 3 3 x2- 4 3 3 x+ 3

得：

x1=3 y1=0

；

x2=4 y2= 3

．
綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，
分別為：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

解法二：∵S△PAB=S△PBC=

1

2

S?PABC，
∴A（0，

3

），C（3，0）顯然滿足條件．
延長(zhǎng)AP交拋物線于點(diǎn)M，由拋物線與圓的軸對(duì)稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=

1

2

S?PABC．
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

3

．
又∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為AM=PA+PM=2+2=4．
∴點(diǎn)M（4，

3

）符合要求．
點(diǎn)（7，8

3

）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，
分別為：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

解法三：延長(zhǎng)AP交拋物線于點(diǎn)M，由拋物線與圓的軸對(duì)稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴S△PBM=S△PBA=

1

2

S?PABC．
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

3

．
即

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

=

3

．
解得：x₁=0（舍），x₂=4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，

3

）．
點(diǎn)（7，8

3

）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個(gè)，
分別為：（0，

3

），（3，0），（4，

3

），（7，8

3

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由菱形、圓的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題．