Question

如圖，風車的支桿OE垂直于桌面，風車中心O到桌面的距離OE為25cm，小小風車在風吹動下繞著中心O不停地轉動，轉動過程中，葉片端點A、B、C、D在同一圓O上，已知⊙O的半徑為10cm．
（1）風車在轉動過程中，當∠AOE=45°時，求點A到桌面的距離（結果保留根號）．
（2）在風車轉動一周的過程中，求點A相對于桌面的高度不超過20cm所經過的路徑長（結果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）作A₁F⊥MN于點F，A₁G⊥OE于點G，在Rt△A₁OG中，利用三角函數可求得OG，從而得出點A到桌面的距離A₁F；
（2）作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20．作A₂D⊥OE于點D，則DE=A₂H．在Rt△A₂OD中，由特殊角的三角函數得∠A₂OD=60°，由圓的軸對稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．從而得出點A所經過的路徑長．
解答：解：（1）如圖（1），點A運動到點A₁的位置時∠AOE=45°．
作A₁F⊥MN于點F，A₁G⊥OE于點G，
∴A₁F=GE．（1分）
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×=5．（2分）
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5．
∴A₁F=GE=25-5．（3分）
答：點A到桌面的距離是（25-5）厘米．（4分）

（2）如圖（2），點A在旋轉過程中運動到點A₂、A₃的位置時，點A到桌面的距離等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，則A₂H=20．作A₂D⊥OE于點D，
∴DE=A₂H．（5分）
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD===．
∴∠A₂OD=60°．（7分）
由圓的軸對稱性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．
∴點A所經過的路徑長為=．（9分）
答：點A所經過的路徑長為厘米．（10分）
點評：本題考查了弧長的計算、勾股定理、特殊角的三角函數值以及銳角三角函數的定義，綜合性較強難度偏大．