Question

如圖，矩形ABCD中，AB=

2

，AD=2．點E是BC邊上的一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．當(dāng)△CDF是等腰三角形時，BE的長為

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過點C作CM⊥DF，垂足為點M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解．

解答：解：①CF=CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點M，
則CM∥AE，DM=MF，（1分）
延長CM交AD于點G，
∴AG=GD=1，
∴CE=1，
∴當(dāng)BE=1時，△CDF是等腰三角形；

②DF=DC時，則DC=DF=

2

，
∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=45°，（1分）
則BE=

2

，
∴當(dāng)BE=

2

時，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC時，則點F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點．
∵AB=

2

，BE=x，
∴AE=

2+x2

，
AF=

2+x2

2

，
∵△ADF∽△EAB，
∴

AD

AE

=

AF

EB

，

2

2+x2

=

2+x2

2 x

，
x²-4x+2=0，
解得：x=2±

2

，
∴當(dāng)BE=2-

2

時，△CDF是等腰三角形．
綜上，當(dāng)BE=1、

2

、2-

2

時，△CDF是等腰三角形．
故答案為：1、

2

、2-

2

．

點評：此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定，考查知識點比較多，綜合性比較強，另外要注意輔助線的作法．