Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中點，等腰直角三角板的直角頂點落在點D上，使三角板繞點D旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當三角板兩邊分別交邊AC、BC于F、E時，線段EF與AF、BE有怎樣的關系并加以證明．
（2）如圖1，設AF=x，四邊形CEDF的面積為y．求y關于x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍．
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當三角板一邊DM經(jīng)過點C時，另一邊DN交CB延長線于點E，連接AE與CD延長線交于H，如圖2，求DH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，證明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵MD⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG²+AF²=FG²，從而得出結論．
（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分別于R、S，在Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，從而可以表示出△FAD的面積，由勾股定理，得CF²+CE²=EF²，再由（1）的結論建立等量關系表示出BE，從而求出ES，就可以表示出△EDB的面積，進而可以表示出y的值．
（3）作AP⊥MD，交MD的延長線于點P，由條件可以求出AP=，DE=2，EC=4，可以求出△ACE的面積，然后用S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC建立等量關系可以求出CH的值，再減去CD的值就求出了DH．
解答：解：（1）線段EF與AF、BE的關系為：EF²=AF²+BE²．理由如下：
延長ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，如圖1，
∵FD⊥GN，
∴FG=EF．
∵D是AB中點，
∴AD=BD，
∵∠ADG=∠EDB，
∴△BED≌△AGD，
∴AG=BE，∠GAD=∠B．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠DAG=90°，
∴AG²+AF²=FG²．
∴EF²=AF²+BE²．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如圖3）
∴∠FRA=∠ESB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠SEB=30°，
∴SB=BE，SE=SB．
∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF²+CE²=EF²，
∵EF²=AF²+BE²，
∴CF²+CE²=AF²+BE²，
∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2，
∴CF=2-x，CE=2-BE．
∴（2-x）²+（2-BE）²=x²+BE²
∴BE=4-x，
∴SB=2-x，
∴SE=2-x，
∴y=×2×2-2×x•-×2×（2-x），
y=2-x-2+x，
y=x
當E點與C點重合時，ED=CD=2，DF=，則CF=，
∴x=；
當E點與B點重合時，AF=，
∴x的取值范圍為：≤x≤

（3）作AP⊥MD，（如圖2）
∴AP=，
∵CD=2，
∴DE=2，EC=4，
∴S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC．
∴×CH+×CH×2=×4×2，
∴CH=，
∴DH=-2=

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，含30°的直角三角形的性質(zhì)．