Question

九（1）班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問(wèn)題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐--應(yīng)用--探究的過(guò)程：
（1）實(shí)踐：他們對(duì)一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車(chē)道的隧道（如圖①）進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫(huà)出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標(biāo)系，請(qǐng)你求出拋物線的解析式；
（2）應(yīng)用：按規(guī)定機(jī)動(dòng)車(chē)輛通過(guò)隧道時(shí)，車(chē)頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m，為了確保安全，問(wèn)該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車(chē)居中并列行駛（兩車(chē)并列行駛時(shí)不考慮兩車(chē)間的空隙）？
（3）探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答：
I．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點(diǎn)C、D落在拋物線上，頂點(diǎn)A、B落在x軸上，設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l求l的最大值；
II．如圖④，過(guò)原點(diǎn)作一條y=x的直線OM，交拋物線于點(diǎn)M，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)N，P　為直線0M上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，問(wèn)在直線OM上是否存在點(diǎn)P，使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)坐標(biāo)系可知此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，6.25）， ∴設(shè)拋物線的解析式為， ∵圖象過(guò)（10，0）點(diǎn)， ∴， 解得， ∴拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車(chē)居中并列行駛時(shí)，x=2， 把x=2代入解析式得：y=-0.25（2-5）2+6.25，y=4， ∵4-3.5=0.5， ∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車(chē)居中并列行駛；
（3）I．假設(shè)AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25， ∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為l： l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20=-0.5（x-1）2+20.5， ∴l(xiāng)的最大值為20.5， II．當(dāng)以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的圖象上，設(shè)P（m，m）， 過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q， ∴∠POA=∠OPA=45°，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，5）， ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，5）， 把Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得， 解得， ∴使以P、N、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）或（，）。